不使用GPS，僅利用都普勒頻移(Doppler Shift)原理，也能測量出低軌通訊衛星的速度和虛擬距離(Pseudorange)。本文將從建立一個簡單的5階次柴比雪夫多項式模型(Chebyshev Polynomial Model)開始，然後使用最小平方法(Least Squares, LSQ)」和統計學中的F-檢定(F-test)，找出運算效率最佳的k階次(Order)第一類柴比雪夫多項式(Chebyshev Polynomials of the First Kind)，以下簡稱為Tk，並使透過Tk模型估算的頻率值，能迅速地逼近於都普勒雷達的頻率測量值。
數據正規化
公式(4)是使用最小平方法結合數個5階次Tk所建立的數學矩陣模型。最小平方法的基本方程式是f=A⋅𝑥+ϵ̅，若使用它來表示都普勒雷達所測得的數據集，𝑥就代表已知的時間或曆元，A是未知的係數，f是已知的低軌衛星回傳頻率，ϵ̅是未知的誤差。求出未知的A和ϵ̅，正是Tk模型的任務。
在公式(4)的等號左邊f1至fn代表在不同時間點所測得的頻率；在等號右邊的第一個矩陣就是5階次的Tk，共有n個，亦即這矩陣的大小是n*4；在等號右邊的第二個矩陣是係數A={𝒶0, 𝒶1, 𝒶2, 𝒶3}。雖說是使用Tk來擬合都普勒雷達所測得的數據集，但如公式(4)結合最小平方法來求解時，所得到的係數A與圖1所列的Tk的係數不見得會完全相同。
使用奇異值分解(Singular Value Decomposition, SVD)或擬反矩陣(Pseudo Inverse Matrix, PIN)的最小平方法時，有可能會造成矩陣的秩(Rank)流失。矩陣的秩一旦流失，就會導致錯誤的估算結果。因此，在進行奇異值分解或求出擬反矩陣之前，必須對都普勒雷達所測得的時間和頻率數據進行正規化(Normalization)。
公式(5)、(6)、(7)列出了三種數據正規化的數學公式。圖5是使用這三種正規化方法的效果比較。公式(5)和(6)都是將時間和頻率等比例縮小到[-0.5, 0.5]，而公式(7)則是將時間和頻率的值等比例縮小到[0, 1]。在時間趨近邊際值時，公式(7)的頻率正規化效果比公式(5)、(6)要準確許多。最後，如公式(8)所示，以最小平方法求出係數A和頻率估計值freq_fit_norm之後，還必須使用此去正規化(Denormalization)公式，算出實際的頻率估計值freq_fit，也就是還原至未正規化之前的狀態。公式(8)是從公式(7)推導出來的。
擬合流程
圖6是使用Tk模型，對都普勒雷達所測得的頻率測量數據進行擬合的流程。按照圖6的流程，可以設計一個Matlab程式，使用SVD結合LSQ來建構Tk模型。
此Matlab程式的計算結果，請參見圖7和圖8。在圖7中的Tk的最高階次是k，並且k=2*n-1。請注意，此處的n與公式(4)中的fn的n不同，fn的n是代表觀測次數，也就是曆元的數量，而k=2*n-1中的n是等於係數A的元素數量減1(不含𝒶0)，如公式(9)所示。從輸入n=11開始，決定係數(Coefficient of Determination) R²開始維持不變，即使n增加，R²的值都不變。通常R²是用來衡量迴歸模型(Regression Model)對觀測數據預估的準確度，它的有效值是介於0到1之間，越接近1表示預估值越可靠。
除了R²，在圖7中還列出了殘餘量的平均值(Mean)、中間值(Median)、標準差(Standard Deviation)，這些統計學常用的指標都可以利用Matlab的函式得出。在圖8中，當輸入n=11時的頻率殘餘量(Residual Frequency)，即估算值和實際觀測值的相差值，也比輸入n=3時的頻率殘餘量少。
F-檢定
如前述，使用R²統計方法，可得出n=11， 21階次的Tk模型。不過，21階次多項式的SVD分解，需要耗費很多記憶體空間和運算時間。對SVD分解而言，F-檢定比R²更適合用來衡量迴歸模型擬合觀測數據的優劣。
公式(10)是F-檢定的基本公式，RSS的定義和SSE相同，p是Tk的階次，n是觀測次數。F-檢定應用於變異數分析(Analysis of Variance, ANOVA)，能夠檢查兩個從常態分布的母體中取樣的樣本，是否具有相同的標準差，亦即兩者的變異數是否相等。可設計一個Matlab程式，使用F-檢定找出最佳階次的Tk。
這主要是利用Matlab的vartest2函式執行F-檢定，若它輸出0，代表虛無假說(Null Hypothesis, H0)成立，兩樣本的變異數相等；反之，若輸出為1，則對立假設(Alternative Hypothesis, H1)成立，兩樣本的變異數不相等。使用這程式可以最先找到n=4和n=5這一組的變異數相等，如圖9。
由於n=4和n=5的變異數相等，因此可以優先選擇n=4，亦即7階次的Tk，因為n=4時能最早擬合。最後，可以另外設計一個Matlab程式，設定n=4，並利用公式(11)，就可以估算出TCA和FCA。如圖10所示，使用Tk模型估算得出的TCA和FCA，確實和都普勒雷達測得的TCA和FCA很接近。
以Tk模型進行參數擬合 衛星位置估算八九不離十(2)
