使用高精確度單點定位(Precise Point Positioning, PPP)法來測量低軌衛星的虛擬距離，雖然可以得到公分等級的高精確度，但通常需要超過半小時以上的運算時間才能完成。本文將介紹一種更快完成低軌衛星定軌的技術。
使用高精確度單點定位(Precise Point Positioning, PPP)法來測量低軌衛星的虛擬距離，雖然可以得到公分等級的高精確度，但通常需要超過半小時以上的運算時間才能完成。本文將介紹一種更快完成低軌衛星定軌的技術。縱使應用了數台GPS和採用了「消除模糊的解決方案(Ambiguity Resolution)」，但仍需要大約10分鐘的運算時間，或稱之為收斂時間(Convergence Time)。
目前最快速的定軌方法是GPS結合數台低軌衛星來實現定軌，這種作法又被稱為「以低軌衛星星座構成增強型的全球導航衛星系統(LEO-enhanced GNSS, LeGNSS)」。而且，應用LeGNSS也能針對特定的低軌衛星，精確又快速地完成軌道測定(Orbit Determination, OD)作業。
軌道測定方法的分類
為減少運算的複雜度，衛星定軌問題的解法，大致可區分為兩大類。第一類是使用傳統的天文觀測法得出軌道參數(Orbital Parameters)，也稱為開普勒參數(Keplerian elements)，就像觀測星象一樣，這是人類最早使用的方法。
這方法將衛星的定軌視為天體力學(Celestial Mechanics)中的二體運動(Two-body Motion)問題，只考慮到衛星和地球之間的重力交互作用。按照牛頓第二運動定律和萬有引力定理，公式(1)是它的數學式，是二階向量微分方程式，其中r“是衛星的加速度向量，GM是地球的「重力參數(gravitational parameter)」，r是從地心到衛星的位置向量，r是r的純量。若要求解公式(1)，需要輸入6個參數，它們是一組代表衛星位置與速度的狀態向量(State Vector)[X0, Y0, Z0, X’0, Y’0, Z’0]，或者軌道參數。
第二類方法是後來發展出來的軌道的差分修正(Differential Correction of Orbit)或簡稱軌道改進(Orbit Improvement)。它比第一類方法收集更多觀測數據，通常是採用最小平方法(Least Squares Method)將這些觀測數據與衛星軌道進行擬合(Fitting)。此擬合的結果可以修正軌道參數。
除了二體運動問題，它也考慮到因擾動(Perturbation)使衛星產生的加速度。產生擾動加速度的主要來源包含：由於地球不是真圓、地球各處的質量密度不是相同的、其它星體(尤其是太陽、月亮、行星)的引力、大地潮汐、大氣阻力(Atmospheric Drag)、直接或間接的太陽輻射壓力、因衛星與地球的時間不同而產生的相對論效應(Relativistic Effect)、地球磁場、衛星推進器的推力。
這些擾動加速度的大小是一些參數的函數，其中最重要的參數是衛星的高度(Altitude)。公式(2)是它的數學式，P是施加在衛星上的擾動加速度之向量總合。
衛星的位置和速度是狀態向量，它是隨著時間不斷變化，在未確定之前都是未知的。此外，由於測量也會有誤差，所以定軌不能只依靠測量。定軌問題可以簡要地使用公式(3)至(6)來描述，而一切是從公式(2)可以改成公式(3)開始的。
公式(3)是非線性的一階微分方程式，其中，X不只包含衛星的位置、速度，還包含一組隨時間變化的參數；F是力向量，X0是在初始時的已知狀態向量。觀測衛星軌道的結果可以用公式(4)表示。Yi是表示在t1到tp中間的一個時間點或曆元(Epoch)所觀測到的結果，εi代表隨機的測量誤差，G(Xi, ti)才是正確的觀測值。使用公式(5)可以求出公式(3)中的X的解。只要Θ函數是已知的，輸入(X0，t0，ti)後，就可以使用分析法或數值法求出公式(5)中X(ti)的值。
藉助現今電腦的計算能力，數值法較常被使用。數值法需要一個定軌方法和一個數值演算法，前者是指包含了擾動加速度的衛星運動方程式，例如：Cowell方法、Encke方法，如圖1。然後，衛星在特定時間點的狀態向量可以用選定的數值演算法得出。可選擇的數值演算法包含歐拉方法(Euler Method)、多步法(Multi-step Method)、Runge-Kutta方法、配置法(Collocation Method)。一旦求出X(ti)的解，就可將X(ti)代入公式(4)，得到公式(6)。
但公式(6)仍是非線性方程式，包含了一些未知的衛星狀態和測量誤差，必須先將它線性化。倘若使用泰勒級數將它展開，可能會因為必須刪除它的泰勒展開式的尾項而產生誤差。通常是使用下列方法來求出公式(6)的解：
一、使用「批次處理的最小平方估測法(Least-squares Batch Estimation)」。每次的預測值和測量值之差稱作測量殘餘值(Observation Residual)，將所有測量殘餘值取平方，並將這些平方值相加，最後使平方值加總之和最小化或等於零。不過，這方法容易受到離群值(Outlier)或過適(Overfit)數據的影響。
二、在每一個觀測時間點，使用序列估計演算法(Sequential Estimation Algorithm)運算，例如序列式最小平方濾波器(Sequential Least-squares Filter)」或卡爾曼濾波器(Kalman Filter, KF)。這種方法比較有效率。
結合GPS與星座架構 低軌衛星定軌更快速(1)
