掌握穩定性回饋係數計算　大頻寬轉阻放大器更穩定

回饋係數可利用修改電路推導
 

對於工程師而言，要計算運算放大器的回饋係數(Feedback Factor)，也就是把電流轉換成電壓的設定可能有點困難。然而，只要能計算出轉阻放大器的轉換函數(Transfer Function)，並採用電壓運算放大器，便可較易於掌握電流到電壓的轉換。本文以廠商推出的運算放大器做為轉阻放大器設計範例，圖1所示為基本的轉阻放大器配置。

圖1　基本的轉阻放大器配置

圖1中只省略顯示電源耦合電容器(Power Supply Decoupling Capacitor)。在大多數情形下，選用光電二極管(Photo Diode)使設計人員可在V_Bias和+V採用同一個電源，但若採用分離式電源，便可把運算放大器的反向輸入保持在虛擬接地，為了得出回饋係數，須檢查圖2中的光電二極管等效電路(Equivalent Circuit)。

圖2　光電二極管等效電路

在上述等效電路中的二極管是個理想的二極管。由於光電二極管須經過反向偏壓才可正常操作，因此該理想二極管並不會包括在回饋係數的計算內。C_J是出現在二極管空乏區(Depletion Region)的電容並且已包括在光電二極管的規格內，而I_PH則是來自光電二極管活動區的電流，至於電流源的阻抗則是光電二極管的串列電阻，以R_SH表示，該串列電阻最小需為10百萬歐姆(MΩ)，而一般來說會較大，通常會大於100MΩ，由於R_SH處於非常高的值，因此當計算回饋係數時，可以把電流源考慮成一個完美的理想值。此外，接觸電阻(Contact Resistance)和非空乏矽晶片(Undepleted Silcon)的電阻會以R_S表示，在正常情況下，R_S會小於100歐姆(Ω)故可以忽略，雖然R_S可在此分析中被忽略，但這電阻在某些二極體中仍可能超出1千歐姆(kΩ)，這時就足以影響轉阻電路的回饋係數。另外，運算放大器還擁有一個輸入電阻，圖3表示用來計算回饋係數的電路，其中C_CM代表運算放大器的輸入共模電容值。

圖3　等效AC電路

在這電路分析中，+V是AC接地，透過這個電路可輕易計算轉阻放大器的移動函數。假設這邊的運算放大器為完美的系統，因此反向輸入可處於虛擬接地，而由於C_J和C_CM兩個節點都在接地，因此不會對這個電路的移動函數造成任何的影響，計算公式如下所示。

或

轉阻放大器的設計人員對上述算式並不陌生。對於低頻V_OUT=-R_F和極低頻V_OUT=-1/sC_F的情況，這個電路會在f_P=1/2πRFCF時插入一個極(Pole)，而這個極可穩定電路。為了得出回饋係數，圖3被修改成圖4。

圖4　用來計算回饋係數的修改電路

正如本文一開始時所述，運算放大器是電壓放大器而不是電流放大器，圖4中的電流源擁有極大的電阻，因此不會對回饋係數有任何影響。至於該兩個輸入電容器則可透過C_IN=C_J+C_CM的設定組合在一起。因此，當電源流不會帶來影響時，圖4中的電路僅是一個微分器電路(Differentiator Circuit)，當中的輸入電容通往電路(C_IN)的接地。即使轉阻放大器是把電流轉換成電壓的轉換器，但回饋係數仍是基於電壓放大器的配置，也就是基於微分器電路。
 

回饋係數的概念很簡單，就是從運算放大器的輸出回饋到輸入的程度。在計算的時候，須要假設通往運算放大器輸入的節點並沒有連接到運算放大器的輸入，之後再計算出輸入電壓和輸出電壓的比例，即V_IN/V_OUT，圖5所示為用來計算回饋係數的電路。

圖5　用來計算回饋係數的電路

C_F和R_F的並聯阻抗如下公式：

上述的算式亦可用來計算移動函數，把計算轉變成一個分壓器網路，給出的算式為：

透過進行一些代數計算，回饋係數F的算式便為：

轉阻放大器的回饋係數基本上會與微分器電路的回饋係數相同，唯一的不同是微分器電路的C_IN被加上運算放大器的反向輸入上，但在轉阻放大器中，C_IN只是光電二極管的電容值和運算放大器的輸入電容值之總和，且須注意在低頻時F=1。
 

透過過補償計算C_F最佳數值
 

運算放大器的雜訊增益為1/F。在微分器電路中，C_IN會在1/F內插入一個零點，導致微分器電路長期不穩定，由於轉阻放大器本身就是一個微分器電路，所以本來就不太穩定，因此，必須用一個C_F限制電路的頻寬才能穩定下來。為了確保穩定性，設計人員可考慮使用一個相對較大的回饋電容器，以過補償這個電路，不過，使用較大的C_F或是求取C_F最佳值的同時，將會增大電路的頻寬，使放大器的頻寬超出所需。
 

圖6所示為一條具備有最佳C_F值的1/F曲線。1/F的極點位於A曲線上，因此C_F的最佳值是在A=1/F或A*F=1。加入一個極點f_P可給出一個超前-滯後補償，其在兩條曲線交點上只有135度的相移，從而為轉阻放大器提供一個45度的相位邊際。若使用的是一個沒有補償的放大器，1/F和A的交點便一定會在運算放大器的第二個極點之前出現。

圖6　開放迴路增益A和雜訊增益1/F關係圖

從計算F的算式中，可知1/F的極點為：

而1/F的零點則為：

在f_Z加入零點會令1/F之斜率出現由0dB至+20dB的變化。為了達到穩定，1/F的斜率必須返回0dB，而方法就是加入C_F以產生出一個極點。此外，圖6也代表一個過補償的例子，當中的C_F值大於其最佳值。通過加大C_F，1/F的極點和零點將可出現在較低的頻率處。這樣，C_IN對零點值的影響便很小，因此極點和零點的頻率便會同時下降，並且隨著C_F在過補償時的增加而逐漸接近。當使用非補償運算放大器時，便可能須使用過補償，此時1/F和A的相交點會出現在接近A的第二個極點。A的算式其實是一個增益和頻寬的乘積：

在算式中，f_GBW是一個頻率，在該處增益為一的穩定運算放大器的開放迴路增益等於0dB(1V/V)。對於沒有補償的零組件，假如-20dB的斜率被擴展到0dB的線上，在這點上的頻率便等於fGBW的數值。使用算式A×F=1，可解出C_F為：

由於A在1/F的極點處與1/F相交，便得出以下兩種關係：

利用這兩條公式解答A×F的算式，而透過將實質與想像零組件的平方相加起來(s=j ω)樣便可得出以下的算式：

將以上的結果簡化成一條可用來求解C_F的算式，得出：

這條公式很難用來解出C_F，所以最好設立一個包含有所有數值的Excel試算表，並透過重複計算來解出C_F。在幾乎所有的應用中，都將會採用C_IN>C_F這個假設。配合這個假設，上述的公式便可被簡化，從而輕易計算出C_F的數值：

這便完成了對一個轉阻放大器的理論分析和計算，而上述便是用來計算C_F最佳值的公式。假如計算出來的C_F值為電路帶來太大的振鈴(Ringing)，便可透過過補償減低振鈴，但當然過補償亦會同時減少轉阻放大器的頻寬。
 

本文設計實例採用美國國家半導體(NS)運算放大器，為速度中等的零組件，其增益頻寬乘積為88MHz，同時也是非補償式的運算放大器，因此可探究轉阻放大器中的非補償性運算放大器的操作情況。元件的輸入電容為15皮法(pF)，並選用OSI Optoelectronics的PIN-HR040光電二極管作為檢測器，該零組件在此電路的條件下之頻寬約為300MHz， 這個程度的頻寬可防止由光電二極管導致的額外頻寬限制，同時，二極管的電容亦很小，在這個電路操作的條件下只有7皮法。雷射二極管被用來作為光源，而雷射二極管的上升和下降時間在5奈秒以下，遠低於運算放大器的上升和下降時間，本例選用的是紅色雷射二極管，以便可看到光線束，以確保設置的安全性。
 

首先，一個高增益會被選用並將R_F設定成100kΩ，圖7所示為用作轉阻放大器的電路。當光電二極管被光線照射時，電流便會流向運算放大器的反向節點，若設計的目標是要達到-20毫伏特的最低輸出電壓，從光電二極管流出來的電流便必須為0.2微安培，至於從光電二極管出來的電流大小，可以憑光源的預期光功率中計算。以PIN-HR040為例，使用的雷射二極管的光波長為630奈米，其所給出的光回應度為0.38A/W，因此假如電流是0.2微安培，光電二極管的光功率便為：

求解W(光功率以瓦特作單位單算)：

圖7　轉阻放大器示意圖

若光源的所有能量均集中在光電二極管的活動區，只須進行上述的計算便足夠，本例中光電二極管的活動區面積為0.77平方毫米，且呈圓形狀。光纖電纜的切面面積比光電二極管大，且其光功率一般都以W/cm²作為量度單位，若現在把光電二極管的活動區面積以平方釐米表示，結果便為7.7×10^-3平方公分。對於相同的0.2微安培輸出電流光源，但以W/cm²作量度單位的話，所需的功率便為：

圖7中，供電源用的旁路電容器並沒有展示，圖中每一個電源都擁有一個6.8微法(μF)的鉭電容器來旁路較低的頻率，同時每個電源並設有一個0.1微法的陶瓷電容器以旁路高頻。當中的陶瓷旁路電容器須儘量放近運算放大器的電源接腳，由於光電二極管的C_J=7皮法和運算放大器的C_CM=15皮法，因此C_IN=22皮法，採用計算C_F的公式可得出C_F=0.53皮法，在此可察覺到不只是C_F遠比C_IN小，而且其高增益配置的數值已達到標準可用值的極限。這個實驗用的電容器是0.5皮法，但度量出來的結果是0.64皮法，因此轉阻放大器經過一些過補償。轉阻放大器的頻寬可以從R_FC_F時間常數中計算出來，或大約是2.5MHz，圖8所示為電路的測試結果。

圖8　電路測試結果

對於大約為108奈秒的上升和下降時間，轉阻放大器頻寬約為3.2MHz，這數值與用R_FC_F時間常數計算出來的2.5MHz很接近，這種過衝無疑展現一個大於45度的相角裕度，而這可能是來自由C_F的最佳值，圖8的照片經過波形均化後拍攝，因此可輕易看到放大器對小型訊號的回應。
 

接著觀察一個具有較低增益的轉阻放大器，以圖7電路圖為例，若R_F現在減少到10kΩ，放大器的增益便僅僅為第一個例子的十分之一。雖然，這個較低的R_F電阻器可給出一個較廣闊的頻寬，可是對於同一個輸出級數而言，雷射二極管的光輸出須比轉阻二極體高十倍。然而，當雷射二極管的輸出級數增加，便會在光輸出產生出一個熱梯度(圖9)。現在，C_F的理想值為1.7皮法，因此可使用1.8皮法的標準值，且須檢查極點的位置以確保穩定性。極點出現在8.8MHz，而雜訊增益(1/F)則等於10，這是本例元件的最小增益值，雖然符合理想兩極系統的穩定性要求，但實驗結果顯示有過大的振鈴，因此這個設計須加入過補償達到可接受的穩定程度。由於有其他的運算放大器內部極點和零點接近第二個極點，使設置與理想的兩極系統相距甚遠，因此須進行過補償，現在，C_F的最終值為2.7皮法。圖9分別顯示轉阻放大器的回應，其R_F=10k歐姆和C_F=2.7皮法。

圖9　轉阻放大器的回應

較高增益的配置擁有大約33奈秒的上升和外降時間，提供了一個約為10.6MHz的頻寬，當C_F等於2.7皮法時，極點便出現在5.9MHz。本文印證在穩定性的計算上，轉阻放大器與微分放大器相同，唯一的分別在於光電二極管，其為附帶在運算放大器輸入節點上的電流源，只要把二極管的電容加到微分放大器的總輸入電容上，光電二極管便不會對穩定性的計算有任何影響。這項實驗採用兩個不同增益的配置印證理論與測試電路可完全吻合，計算C_F的算式可以使用在任何的微分放大器設計上，即使微分放大器與轉阻放大器的移動函數不相同，但用來計算穩定性的回饋係數則相同。
 

(本文作者任職於美國國家半導體)