距離測算分毫不差　降低GPS導航定位誤差有道

智慧型手機內的GPS接收器是如何知道使用者目前的位置？為了降低GPS定位系統的誤差，必須克服哪些問題？本文將從GPS的基本原理開始，探討解決這些問題的方法。

GPS基本原理

GPS衛星星座(Satellite Constellation)系統是使用三邊量測法(Trilateration)來決定一個GPS接收器的位置。如圖1所示，有一個人站在地球某位置，手持內有GPS接收器的裝置。同時，在外太空中，至少需要四個GPS衛星才能找到那個人站在地球上的座標位置。但為何需要四個？三維座標不是只需要三個GPS衛星嗎？

因為從GPS衛星發出射頻訊號，並以光速到達地球表面會有時差，即使那只是一到幾奈秒的時差，但將它乘以光速3 10⁸m/s後，結果卻有至少0.3公尺以上的誤差。每個GPS衛星內部都有原子鐘，而且時間都是一樣的。但一般手持的GPS接收裝置內部沒有原子鐘，於是因傳收時脈(Time Clock)的不同步，就造成訊號誤差。此外，依照狹義相對論(Special Relativity)，GPS衛星內部的原子鐘的時間和地球上的時間也不一樣。所以，至少需要四個GPS衛星才能求出這四個未知數：X、Y、Z座標值和時間變數t，式子(1)是其數學表示式。

PR_i=R_i+C·Δt_Ai+C·(Δt_u-Δt_Si)　i=1,2,3,4……(1)

在式子(1)中，各項變數的意義分述如下：

・PR_i是第i號GPS衛星到GPS接收器的量測距離，有誤差。

・R_i是第i號GPS衛星到GPS接收器的實際距離，沒有誤差。

・C是光速。

・Δt_Ai是第i號GPS衛星的傳輸延遲和其它時間誤差。

・Δt_u是GPS接收器相對於GPS系統時間之間的時脈誤差。

・Δt_Si是第i號GPS衛星相對於GPS系統時間之間的誤差。

按照三邊量測法，第i號GPS衛星的三維座標(X_Si，Y_Si，Z_Si)和GPS接收器的三維座標(X，Y，Z)之間的實際距離R_i等於式子(2)。(X_Si，Y_Si，Z_Si)和Δt_Si可以從第i號GPS衛星發射的調變訊號中，解調後得出。Δt_Ai可以透過雙頻測量(Dual-Frequency Measurement)得出。PR_i則是由GPS接收器將接收到的第i號GPS衛星的時間訊號和其內部時鐘做比較，換算為發射時間和接收時間，再乘以光速後得出。

最後，將上述得出的數據代入式子(2)和式子(1)，這是一組非線性方程式求解的問題，必須建立一個數學模型，經反覆運算後，才能求出GPS接收器的三維座標(X，Y，Z)。不過，這座標是理論值。雖然GPS定位科技一直在進步，但仍存在誤差值。所以經由式子(1)計算出來的距離PRi，被稱為虛擬距離(Pseudorange)。

……(2)

在式子(1)中，有四個未知數：(X，Y，Z)和Δt_u，可以用一個向量X來表示，如式子(3)。X也稱為狀態向量(State Vector)，x_u、y_u、z_u是GPS接收器的三維座標。因為i=4，所以X就是這組非線性方程式的唯一解。求解X的方法是先建立一個數學模型，將每一個非線性方程式化成泰勒級數展開式(Taylor Series Expansion)，然後使用最小平方法(Least Squares Method)計算出最小誤差值，再將這個誤差值輸入此模型中，如此反覆運算，最後得出符合條件的最小誤差，同時得出X的唯一解。若i<4，X無解。若i>4，可以使用最小平方法得出X的最佳解。

……(3)

由式子(2)計算出來的實際距離R_i，稱作幾何距離。幾何距離、虛擬距離、時間誤差之間的關係如圖2所示。幾何距離的同等時間Δt=T_u-T_S，其時間誤差為0。虛擬距離的同等時間為 。因此，GPS衛星訊號發射的時間 。

雙載波測量提升精準度

太空衛星發射訊號到地球時，會通過電離層(Ionosphere Zone)，由於電離層含有過量的電子，因此會造成電磁波偏移和時間延遲，稱為電離層閃爍(Ionospheric Scintillation)效應。為了降低電離層閃爍造成的誤差，GPS衛星採用了兩個位於L波段的L1和L2雙載波(Dual Carrier Wave)調變技術。

理論上，地面的GPS雙載波接收器可以比單載波接收器，更快速地計算出更精準的運動物座標與運動速度(Position, Velocity, Precise Time, PVT)。式子(4)是去除了電離層閃爍後的虛擬距離ρ_IF之計算公式。ρ₁是使用L1載波訊號的工作頻率f₁測量到的虛擬距離，ρ₂是使用L2載波訊號的工作頻率f₂測量到的虛擬距離。γ是f₁和f₂的固定比 的平方。f₁=f₀×154=1575.42MHz，f₂=f₀×120=1227.60MHz。f₀等於10.23MHz，是由GPS衛星的原子鐘產生的基本頻率，f₁和f₂是f₀的倍頻。

……(4)

L1 C/A是L1的官方正式名稱，L2C是L2的官方正式名稱。C/A是指粗略/獲取碼(Coarse/Acquisition Code)。GPS衛星發射的訊號除了載波以外，主要還包含測距碼(Ramging Code)和導航訊息(Navigation Messages)。測距碼有兩種：C/A碼和P碼。C/A碼是民用，P碼是軍用。GPS接收器先將C/A碼解調，然後藉此讀取導航訊息內的P碼訊息，並對P碼進行解調。P碼有經過特殊加密，原本是供軍事用途，轉為民用則可以用來阻止駭客攻擊。L2C的C是民用(Civil)的意思。

三載波測量

除了L1 C/A和L2C以外，GPS還包含L5和L1C。L1、L2加上L5構成三載波或三頻(Triple Frequency)GPS系統。L5載波的工作頻率是1176MHz，主要是提供給飛行器導航、緊急事故時的救援之用。

式子(5)是常見的多頻GPS虛擬距離量測方程式，比式子(1)要複雜。式子(6)是常見的多頻GPS載波相位(Carrier Phase)量測方程式，它和上述的虛擬距離量測模型類似，也是一個量測距離用的數學模型。其中，i是頻率，j是衛星編號，r是接收器編號。P_i^j是虛擬距離，Φ_i^j是載波相位。ρ_j是GPS衛星和接收器之間的實際距離。c是光速。dt_r,j是接收器的時間誤差，dt^j是衛星的時間誤差。f_i是載波頻率，f₀是GPS的基本頻率10.23MHz。I_i^j是受到電離層影響而產生的時間延遲。T^j是受到對流層(Tropospheric)影響而產生的時間延遲。λ_i是載波相位的波長。N_i是非整數(分數)的模糊參數。e_i^j是測量虛擬距離時的其他未模型化誤差，ε_i^j是測量載波相位時的其他未模型化誤差。

……(5)

……(6)

在上述變數中，如何消除模糊參數N_i，對於提高GPS定位的精確度很重要。目前已經有許多種消除N_i的方法，例如在非差精密單點定位(Undifferenced Precise Point Positioning, PPP)技術中，使用能求出分數週期偏差(Fractional-Cycle Biases, FCBs)初始值的演算法，藉此消除窄波模糊(Narrow-Lane Ambiguity)，使N_i變成趨近固定的常數。

式子(6)中的Φ_i^j雖是指載波的相位，但它的最終計量單位不是角度，而是和P_i^j一樣的距離單位，其實就是將測得的相位換算成週波數，再乘以載波波長就得出距離。Φ_i^j和P_i^j的最大不同在於N_i。這是因為從GPS衛星發射的訊號到達接收器的天線，這一段距離是載波相位模型無法知道的。此外，GPS接收器的天線何時接收到載波訊號也是無法固定的，因為不同GPS接收器的硬體效能，這個接收初始值也會不同。為了幫助理解，可以使用積分將式子(6)改寫成式子(7)。其中，ρ^j被三個項式Δf_i,meas(t)、Φ_i^j(t0)、 取代，意即理論上，GPS衛星和接收器之間的實際距離ρ^j可以等於載波相位測量值 和整數的相位模糊參數 之和乘以載波的波長。而且 。對載波相位模型而言， 是未知數。如圖3和圖4所示。

……(7)

想提高GPS定位的精準度，測量載波相位是不可或缺的。 也稱作整合的都普勒測量(The Integrated Doppler Measurement)值，雖然 不是GPS衛星和接收器之間的實際距離，但為了能接收從GPS衛星發出的載波訊號，GPS接收器必須知道都普勒位移量(Doppler Shift)Δf_i,meas(t)。都普勒位移是載波相位的時間微分，它是由GPS衛星和接收器之間的相對速度和接收器的時脈誤差決定的。

以電子解調器(Demodulator)實現時，Δf_i,meas(t)可以被視為GPS接收器接收到的輸入頻率與GPS接收器內部產生的本地參考頻率之間的拍頻(Beat Frequency)。如式子(8)所示，f_R是實際接收到的頻率， 是GPS接收器測得並鎖定的頻率，δt_revr是GPS接收器的時脈誤差。都普勒測量值Δf_meas(t)等於接收器測得的頻率和GPS衛星所發射的頻率之差。GPS衛星所發射的頻率可以從導航訊息中獲得。當GPS衛星遠離接收器時，都普勒位移會變成負數，因為 (t)<f_T(t)，Δf_meas(t)= (t)-f_T(t)<0，但都普勒測量值 仍是正數，但值變大了。當GPS衛星在t=0之後靜止不動，都普勒測量值理論上應該等於零。所以，藉由都普勒測量值可以得知虛擬距離的時間變化，也就是GPS衛星對接收器的相對速度。

……(8)